本文由加州大学伯克利分校统计系和谷歌 DeepMind 的团队联合发表，研究了预训练后的 Transformer 的基于上下文学习 (In-Context Learning) 的能力。他们用简洁的数学理论证明了：Transformer 可以基于上下文学习到一种类似最小二乘的算法，这种学到的算法在新的数据集上能学到正确的线性模型。
Transformer 基于上下文学习的能力
基于上下文学习 (ICL,In-Context Learning) 是大语言模型的特殊能力。它通常指的是：一个经过预训练的语言模型，当你输入一些具体的任务指示和少数几个范例 (demonstration) 之后，再输入一个新问题 (query input)，该模型可以依据提供的范例给出正确的解答或者标注 (label)。
注意，在进行基于上下文的学习的时候，原先经过预训练的模型是不需要经过任何微调 (fine-tuning) 的。也就是说，原模型的参数完全不会变化。这大大节省了微调所需要的数据。
举个例子，假设你需要 GPT 做翻译任务，你提供了一些范例：狗 ——dog；猫 ——cat。然后你想知道「人」怎么翻译。这个时候你不需要对模型进行任何微调（尽管训练的时候并没有使用翻译的数据集），你只需要输入：
请将中文翻译成英文。例如：狗 ——dog；猫 ——cat；人 ——？
GPT 可以给出你正确的回答（不信你可以自己试试）。
在 GPT3 及此后的许多大模型中，人们都观察到了 ICL 的现象 [1]。如何理解这种现象，目前学术界并没有给出统一的答案。一种观点认为，GPT 可以从提供的范例中学到某些算法，然后再将这些算法用到新的问题中。例如，从「狗 ——dog；猫 ——cat」中，GPT 也许学到了一种「可以用于文本翻译」的算法，然后在将这种算法用在新的问题「人 ——？」中。
至于学到了什么算法，不同机构通过实验得出了一些结论 [2,3,4]。下表中，我们使用约等号，表示并没有严格的理论说明 GPT（或者类似结构）严格学到了这个算法，但是它和该算法在任务上的表现几乎一致。
本文首次从理论上证明，经过预训练的 Transformer 在线性回归模型上学到了与最小二乘十分类似的算法，它们都能基于上下文学到正确的线性模型。
一个简单的线性 Transformer 模型
本文考虑的是一个简化的线性 Transformer 模型，所有的数据来源于无噪音的线性模型。我们考虑这样一个序列到序列 (sequence-to-sequence) 的函数：我们用一系列的数据和标签 (x_i,y_i), i=1,2,...,N, 来模拟一个任务中的范例。想象所有的 x_i 就是中文词语，对应的 y_i 是对应的英文翻译。我们还有一个需要给出预测的输入 x_query（想象我们有一个中文单词需要翻译），对这个输入，它对应的输出是 y_query，我们希望模型准确的预测它。
我们把这些范例和问题堆起来变成一个矩阵：
这里我们没有将 y_query 放进去，是因为这个矩阵会被输入给 Transformer，而我们希望得到的预测是 y_query。我们将这个数据编码矩阵 (embedding matrix) 输入到如下的单层线性 Transformer 中：
是的你没有看错，这就是一个（一层的、线性的）Transformer。这里的输入和输出是同样大小的矩阵，第一个加数 E 表示经典的残差连接，后面的 W_1 表示 value 矩阵，而 W_2 则是把 key 和 query 矩阵的乘积直接当成了一个矩阵。
之所以称其为「线性的」Transformer，是因为我们去掉了经典 Transformer 中的归一化（除以某个系数后加上 softmax）和非线性激活函数，将其替代为直接除以 token 矩阵 E 的大小（乘以 1/N）。我们将输出矩阵的右下角元素记为ŷ_query，它是模型对 y_query 的预测。
我们假设所有的数据来自于一个随机的线性模型，即对于 i=1,2,...,N，有 y_i = w・x_i 以及 y_query = w・x_query。我们假设 w 服从标准高斯分布，而 x_i 独立同分布地服从一个均值为 0，方差为 𝝠 的高斯分布。在训练的过程中，我们最小化如下的目标函数：
Transformer 如何学到正确的线性模型？
本文从理论上证明了，当我们用 gradient flow（也就是 gradient descent 加上无限小的步长）对上述的目标函数进行优化的时候，参数矩阵 $W_1$ 和 $W_2$ 都能收敛到某个特殊的全局最优解。
更重要的是，这个全局最优解是可以显式写出的：
这里，$d$ 是左上角的分块矩阵的维数。
更重要的是，假设我们模型中的参数已经收敛到这个全局最优解，而此时我们有一个新的任务（新的 weight 向量 w）和一系列针对这个任务的范例（新的 x_i , y_i 和 x_query），当我们把这些数据堆成一个同样格式的 embedding 矩阵 E 然后输入给训练好的模型时，这个模型会给出什么样的预测呢？通过简单的计算（真的很简单）可以得到，模型的预测是
为什么会有这个约等号呢？是因为假设我们的范例足够多（N 足够大），大数定律告诉我们中间括号里的 empirical covariance matrix 会几乎处处收敛到真正的 population covariance matrix，而我们如果进一步忽略前一个括号中的 o (1) 小量，就可以将 𝝠 和它的逆抵消。从而，模型的预测近似地等于 w・x_query 也就是真实的，我们所希望预测到的数据标签 y_query。
也就是说，当提供的范例足够多的时候，经过预训练的一层 Transformer 可以从范例中学到正确的线性模型对应的参数，并将这个参数应用到新的输入中，得到正确的标签预测。
更多有趣的现象？
本文还研究了更多关于 Transformer 的 ICL 能力的有趣现象。点击「阅读全文」获取原文信息。
- 非线性任务？—— 当我们提供的范例来自一个非线性任务时，经过预训练的 Transformer 学到了对应的最佳线性预测。这个结论可以被泛化到更一般的联合分布的情况。
- 分布转移 (distribution shift)？—— 前人的实验中观察到，当测试时的任务分布或者数据分布不同于训练时的分布时，Transformer 能够承受一些种类的分布转移，但在另一些分布转移中会表现的很差。本文从理论上研究了 Transformer 面对分布转移时的行为，并成功解释了来自斯坦福的论文 [2] 中关于分布转移的大部分实验现象。
- 收敛速率？—— 本文将基于上下文学习的能力解释为一种学习新算法（新函数）的能力，并给出了对于训练范例的数量和测试范例的数量二者的收敛速率。值得注意的是，线性 Transformer 对于二者的收敛速率是不同的。
- 随机协方差矩阵？—— 本文还证明，如果数据来源的协方差矩阵是随机的，一层的线性 Transformer 无法从上下文中学到正确的线性模型。我们的实验结果表明，更复杂的模型（诸如 GPT2）依然不能完全解决随机协方差矩阵的问题。
- 基于上下文学习的理论框架？—— 本文建立了严格的基于上下文学习的理论框架，区分了基于上下文的训练 (In-Context Training) 和基于上下文的学习能力 (In-Context Learnability) 这两个概念。
参考文献
[1] Tom Brown et al. “Language models are few-shot learners”. In: Advances in neural information processing systems 33 (2020), pp. 1877–1901. https://arxiv.org/abs/2005.14165.
[2] Shivam Garg et al. “What can transformers learn in-context? a case study of simple function classes”. In: Advances in Neural Information Processing Systems 35 (2022), pp. 30583–30598. https://arxiv.org/abs/2208.01066
[3] Ekin Akyürek et al. “What learning algorithm is in-context learning? investigations with linear models”. In:
arXiv preprint arXiv:2211.15661 (2022). https://arxiv.org/abs/2211.15661
[4] Kabir Ahuja, Madhur Panwar, and Navin Goyal. “In-Context Learning through the Bayesian Prism”. In: arXiv preprint arXiv:2306.04891 (2023). https://arxiv.org/abs/2306.04891
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